علم حساب المثلثات

مقدمة
إن الرياضيات بفروعها المختلفة قد ساعدت الإنسان منذ القدم وحتى وقتنا ‏الحاضر في دراسة وتحليل العلاقات بين الظواهر الطبيعية المختلفة وبالتالي في التعرف على ‏بعض القوانين التي تحكم الكون المليء بالأسرار ولقد اخترت موضوع بحثي عن حساب المثلثات
فحساب المثلثات هو علم عربي إسلامي، ويعترف جميع علماء الرياضيات الأوربيين بأن المسلمين أسهموا الإسهام الأساسي في إنشاء علم المثلثات، وأن الفضل يرجع لهم في جعله علمًا منتظمًا ومستقلا عن علم الفلك،
تحدثنا بشكل موجز عن حساب المثلثات دعونا نتحدث بشيء من التفصيل

نبذة تاريخية
يعود تاريخ حساب المثلثات إلى أقدم ما دون عن الرياضيات في مصروبابل، حيث قاس البابليون الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. وحتى عصراليونانيين، لم يوجد أي تطور ملحوظ في حساب المثلثات،
وفي القرن الثاني قبلالميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتى وصلإلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابل لهذهالزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ، ولم تكنالقيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عام استخدمالفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظامالأرقام الستينية البابلي.علم المثلثات (Trigonometry) هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام. وهو أحد فروع علم الهندسة العامة. يعتبر قدماء المصريين أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها.و من أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة.

لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.

يكون مثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيرة أو تصغيرة. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.

اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر.


في المثلث القائم: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.في المثلث القائم المبين في الشكل, يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(c/a)
جيب تمام الزاوية A =طول الضلع المجاور / الوتر (c/b)
ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).
دالتا الجيب وجيب التمام هما أهم الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعرف بأخذ نسب أخرى من أضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين جيب وتجيب، هذه التوابع هي: طل، تطل(ظتا)، قا، وتقا.

ظل الزاوية A = جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية
ظل تمام الزاوية A = جيب تمام الزاوية / جيب الزاوية
قا (قاطع) = 1 / جتا يه (مقلوب الجتا)
قاطع تمام (قتا) = 1 / جيب (مقلوب الجيب)
بهذا نكون قد عرفنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة.

عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قوانين الجيب وقوانين جيب تمام.

هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب المثلثات علي السطح الكري، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك وفي الملاحة.
تلخيص لبعض قوانين حساب المثلثات
1- ظاس = جاس/ جتاس
2-ظتاس = 1 / ظاس ...... ظتاس = جتاس/ جاس
3- قاس= 1/ جتاس
4- قتاس = 1/ جاس
5- جا^2س+جتا^2س=
6- قا^2س=1+ظا^2س
7- قتا^2س=1+ظتا^2س
8- جا( - س) = - جاس
9- جتا( - س) = جتاس
10- ظا( - س) = - ظاس

العلماء المسلمين الذين ساهموا في علم حساب المثلثات
ابن سنان البتاني، وهو أول من استعمل المعادلات المثلثية، وأبو الوفاء البوزجاني أول من أدخل المماس في عداد النسب المثلثية، واستخدم المماسات، والقواطع، ونظائرها في قياس المثلثات والزوايا. كما ابتكر طريقة لإنشاء جداول للجيوب في المثلثات المستوية، وأعطى جيب نصف الدرجة صحيحًا لثمانية أرقام عشرية، ووضع جداول لنسبة الظل التي أدخلها مع نسبتي القاطع وقاطع التمام.
أبو العباس التبريزي، وأبو جعفر الخازن في القرن الرابع الهجري، والبيروني، والعالم الأندلسي الجليل أبو إسحاق إبراهيم بن يحيى النقاش المعروف بابن الزرقالي عند الغربيين، وكان له أثر عظيم في علم حساب المثلثات وخاصة المثلث الكروي، ووجد اسم جيب الزواية واستعمالها في كتاب ابن الزرقالي. وقد ألف كذلك جداول لعلم حساب المثلثات ترجمها الغرب إلى اللاتينية. ويقول "سيديو" عن إنجازات البتاني في علم المثلثات: "يرجع أول تقدم في علم المثلثات إلى البتاني، فقد بدا لهذا الفلكي العظيم -الملقب ببطليموس العرب- أن يستبدل الأقواس بالأوتار للأقواس المضاعفة أي جيوب الأقواس المقترحة0
أقوال عن مساهمات العلماء المسلمين
قال "رام لاندو" في كتابه "المؤثر على حضارة العرب": "إن حساب المثلثات في أوربا كان مأخوذًا من علم حساب المثلثات عند المسلمين.
ويقول "ديفيد سميث" في كتابه تاريخ الرياضيات": "...ولم تدرس المثلثات الكروية المائلة بصورة جديدة وجدية إلا على أيدي العرب والمسلمين في القرن الرابع الهجري، العاشر الميلادي".
الخاتمة
في الختام لقد وصلنا الى نهاية موضوعنا الشيق الذي استفدت منه معلومات قيمة لم أكن اعرفها فقد علمت إن المسلمين لهم انجازات واسعة جدا في علم حساب المثلثات ولكم أردت إن يكون المسلمين اليوم كالمسلمين العلماء أصحاب الحكمة والذكاء والابتكار لا التقليد
وتعرفت على استخدام زوايا الارتفاع والانخفاض وما لها من اهمية توفير الوقت والجهد وإعطاء معلومات أكثر دقة
واختم بحثي بعبارة
(الرياضيات كالبحر بما فيها من معلومات)

الموضوع الأصلى: http://www.sef.ps/vb/multka235947/#ixzz2C7UsSztD