التحليل الحقيقي
شهد القرن التاسع عشر تطوراً كبيراًفي التحليل الرياضي ، كما وضع الأساس المنطقي له أيضاً في هذا القرن ولقد كان مبعثتطوره مشكلات في الطبيعة الرياضية والفلك . ويتضح هذا من المشكلات التي قابلتهاملتون من عمله في الضوء والديناميكا ( 1827-1837) ، والمشكلات التي قابلت لاي ( 1837) عند تعامله مع المعادلات التفاضلية والديناميكية واكتشافه للمجموعات المستمرةالتي لها دور كبير في التوبولوجيا والتحليل الحديث ، والمشكلات التي قابلت ماكسويل (1873) في الديناميكا الكهربائية . كما أنه من نظرية الاحتمالات لكوموجوروف (1922)أصبح واضحاً أن مشكلات الميكانيكا الإحصائية مشكلات أساسية في نظرية القياس ومعهاتطور الفرع التجريدي للرياضيات الذي قام به ليبيه (1902) من علم التكامل إلى أبعدمما عمله أرشميدس ، كوشي ، ريمان ، إلى عالم الفراغات المجردة . وقد أدى ذلك إلىتوحيد الطرق التحليلية على أيدي مور(1906) فرشيه (1938) . ويمكننا أيضاً ملاحظة آثر المشكلات الألكتروستاتيكية ونظرية الوضع في النصف الثاني من القرن التاسع عشر فينمو نظرية المعادلات التفاضلية.أما بالنسبة للأساس المنطقيللتحليل الرياضي فقد قدم كوشي (1821) نظرية أكثر تجريداً للنهايات ووضع فيهتعاريف مقبولة للتقارب والأستمرار ، والدوال التفاضلية ، والتكامل المحدود وهذهالتعاريف هي الموجودة في أي مدخل للتفاضل والتكامل في المناهجالحالية .إلاأن عمل كوشي كان محتاجاً إلى أساس أعمق وذلك لأن نقطة البداية عنده كانت فكرة حدسية عن نظام الأعداد الحقيقية ولذلك نشأت الحاجة إلى دراسة أكثر تجريداً للمفاهيمالأساسية للأعداد الحقيقية وقد قام بهذه الدراسات فيراستراس في نهاية القرن التاسععشر . وحيث أن حساب التحليل الرياضي يمد جذوره في الأعداد الحقيقة فإن أفرعاً كثيرةفي الرياضيات تعتمد جميعها على نظام الأعداد الحقيقية ، وكما يقول البعض " أكثرالرياضيات المعاصرة لها نفس نظام الأعداد الحقيقية كأساس لها" وقد تطورت أساسيات الأعداد الحقيقية على أيدي ديدكند ، كانتور ، فيرستراس في نهاية القرن التاسع عشر عندما قدمت تعاريف الأعداد غير القياسية التي دفعت كانتورإلى اكتشاف نظرية الفئات خاصة اللانهاية وأعداد ما وراء اللانهاية(1890 – 1897)ومنها نشأ التوبولوجي التحليلي.ومن الموضوعات الهامة الحديثةالتي لها تطبيقات واسعة في التكنولوجيا والتجارة نجد التحليل التجميعي Combinatorial Analysis الذي يشمل التباديل ، نظرية الاحتملات ، وكذلك نظريةالألعاب التي نشأت من نظرية الاحتملات ، المجموعات . وقد ساهم كثير من الرياضيين فيتطويرها ( مثل تشبشف ، ماركوف ) ، واصبحت ذات أهمية خاصة بعد استخدام الآلاتالحاسبة . ولقد ظهرت أهميتها التطبيقية في حل مشكلات الطبيعة مثل المشكلات المتعلقة بالحركة البروتونية للجزيئيات والنظرية الحركية في الغازات . إلا أن الأساس كانمحتاجاً إلى قاعدة أكثر صلابة وتجريداً وهذا ما قام به بوريل وليبيه . ولقد أدى هذاالتطور إلى ظهور العمليات العشوائية Srochastic Processes التي لها تطبيقات في الطبيعة والفلك وعلم الوراثة والاقتصاد والعلوم الإنسانية.
ومنالتطورات الحديثة ما يتعلق بالرياضيين الفلاسفة مثل هلبرت ، وهوايتهد ، راسل ،بروير الذين بدؤا أبحاثهم في وضع المنطق الرمزي كتركيب رياضي على طريق ما عمله فيالأصل جورج بول في منتصف القرن التاسع عشر.
المصدر : أصول تدريس الرياضياتد. نظله حسن أحمد خظر
